zukaABCをコツコツ解いていきます。
本記事は，管理人の競技プロ精進日記としてログを取ったものです。モチベーションを爆上げするために，積極的にアウトプットしていく作戦です。これから競技プログラミングを始めようと考えている人や，なんとなく敷居が高いと感じている人の参考になれば嬉しく思います。その他の記事は以下をご覧ください。
目次
本記事の概要
Atcoderで初心者用のコンテストとして開催されているAtcoder Beginner Contest（通称ABC）を解いていくものです。今回はABC143-B「TAKOYAKI FESTIVAL 2019」です。
ポイント
二重ループによる全探索です。別解として，数学の因数分解を利用した解法もあります。
おさえるべき内容
二重ループによる全探索
実装
#include <bits/stdc++.h>
#define _GLIBCXX_DEBUG
#define rep(i, n) for (int i = 0; i < (int)(n); i++)
#define repi(i, a, b) for (int i = (int)(a); i < (int)(b); i++)
using namespace std;
int main(){
int N;
cin >> N;
int D[N];
rep(i, N){
cin >> D[i];
}
int ans = 0;
// 二重ループによる全探索
rep(i, N){
repi(j, i+1, N){
ans += D[i] * D[j];
}
}
cout << ans << endl;
}
別解
求めたい回復量の総和を$S$は，以下のように表されます。
\begin{align}
S &= d_1d_2 + d_1d_3 + \cdots + d_1d_N + d_2 d_3 + \cdots + d_2d_N + \cdots d_{N-1}d_N \\
\end{align}
S &= d_1d_2 + d_1d_3 + \cdots + d_1d_N + d_2 d_3 + \cdots + d_2d_N + \cdots d_{N-1}d_N \\
\end{align}
これを変形すると，以下のようになります。
\begin{align}
& d_1d_2 + d_1d_3 + \cdots + d_1d_N + d_2 d_3 + \cdots + d_2d_N + \cdots d_{N-1}d_N \\
&= \frac{\left( \sum_{i=1}^{N} \sum_{j=1}^{N} d_id_j \right) - \left( \sum_{i=1}^{N} d_{i}^2 \right)}{2} \\
&= \frac{(d_1 + d_2 + \cdots + d_N)^2 - (d_1^2 + d_2^2 + \cdots + d_N^2)}{2} \label{ans}
\end{align}
& d_1d_2 + d_1d_3 + \cdots + d_1d_N + d_2 d_3 + \cdots + d_2d_N + \cdots d_{N-1}d_N \\
&= \frac{\left( \sum_{i=1}^{N} \sum_{j=1}^{N} d_id_j \right) - \left( \sum_{i=1}^{N} d_{i}^2 \right)}{2} \\
&= \frac{(d_1 + d_2 + \cdots + d_N)^2 - (d_1^2 + d_2^2 + \cdots + d_N^2)}{2} \label{ans}
\end{align}
式(\ref{ans})を利用すれば，以下のような別解も考えられます。
#include <bits/stdc++.h>
#define _GLIBCXX_DEBUG
#define rep(i, n) for (int i = 0; i < (int)(n); i++)
#define repi(i, a, b) for (int i = (int)(a); i < (int)(b); i++)
using namespace std;
int main(){
int N;
cin >> N;
int D[N];
rep(i, N){
cin >> D[i];
}
// 式(2)の分子左辺
int sums = 0;
rep(i, N){
sums += D[i];
}
int ans = sums * sums;
// 式(2)の分子右辺
rep(i, N){
ans -= D[i] * D[i];
}
// 式(2)の出力
cout << ans / 2 << endl;
}
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